43. Multiply Strings
Description
Given two numbers represented as strings, return multiplication of the numbers as a string.
Note:
1.The numbers can be arbitrarily large and are non-negative.
2.Converting the input string to integer is NOT allowed.
3.You should NOT use internal library such as BigInteger.
Analysis
这道题给我们两个字符串，要求将这两个字符串表示的两个数字相乘，并返回结果字符串。
对于这种字符串求值问题，之前也遇到过。但这道题的难点在于它限制了我们对于內建函数的调用，题目中明确告诉我们，不允许将字符串转换为整型数，也不允许调用某些库函数。
对于9*9 12*12这样的式子，似乎也不难求值，无非就是两重循环模拟乘法过程，注意位置一定要对应上即可。但如果需要进位呢？ 似乎就很麻烦了，于是我们有必要展开一轮在纸上的推演。
以123*45为例:
首先，我们通过推演发现，原始数据中的数字在给定字符串中的index和在结果串中的index有着千丝万缕的联系，即:
如果在给定字符串中两数字索引分别为i,j，则其相乘后得到的结果的个位部分在结果字符串中的索引为i+j+1,十位部分为i+j，利用这点，我们就可以在每次循环中，通过一个临时数组保存每次运算的状态，让之后的运算结果能够加上之前的运算结果，进而实现进位操作。
其实就是每位上，分别算进位即可。
用自然语言描述不是很清晰，所以直接上代码吧
code
class Solution {
public:
string multiply(string num1, string num2) {
const int res_size=num1.size()+num2.size();
int res[res_size]={0};
int i=0,j=0,sum=0;
string result;
for(i=num1.size()-1;i>=0;i--){
for(j=num2.size()-1;j>=0;j--){
int p1=i+j;
int p2=i+j+1;
sum=(num1[i]-'0')*(num2[j]-'0')+res[p2];
res[p1]+=sum/10;
res[p2]=sum%10;
}
}
while(res[i]==0 ) i++;
for(i;i<res_size;i++){
result.push_back('0'+res[i]);
if(result.empty())
return "0";
else
return result;
}
};
代码结合上面的图一起看，应该会清晰一些。
下面再介绍另一种优雅至极的算法，借助FFT也就是快速傅里叶变换来求解大数相乘问题。不过原理我还没有完全掌握，这次就先只贴出一篇写的比较好的博文供各位参考。其实最开始拿到题的时候，我就觉得这道题和离散信号的卷积怎么这么像，后来发现确实可以用卷积的思想解决这个问题。
以下内容引用自:
我们知道，两个 N 位数字的整数的乘法，如果使用常规的算法，时间复杂度是 O(N2)。然而，使用快速傅里叶变换，时间复杂度可以降低到 O(N logN loglogN)。
假设我们要计算以下两个 N 位数字的乘积：
a = (aN-1aN-2…a1a0)10 = aN-1x10N-1 + aN-2x10N-2 + … + a1x101 + a0x100
b = (bN-1bN-2…b1b0)10 = bN-1x10N-1 + bN-2x10N-2 + … + b1x101 + b0x100
将上面两个式子相乘，得到以下公式 (共 2N - 1 项)：
c = a x b = c2N-2x102N-2 + c2N-3x102N-3 + … + c1x101 + c0x100
非常容易验证，上式中的 ck ( 0 ≤ k ≤ 2N-2 ) 满足以下公式：
ck = a0xbk + a1xbk-1 + … + ak-2xb2 + ak-1xb1
+ akxb0 + ak+1xb-1 + … + aN-2xb-(N-2-k) + aN-1xb-(N-1-k)
上式共有 N 项，ai 和 bj 的下标 i 和 j 满足 i + j = k。若不满足 0 ≤ i, j ≤ N-1 时，则令 ai = bj = 0。
我们以两个 3 ( N = 3 ) 位数 a = 678 和 b = 432 的乘积来说明以上过程吧。
a = (678)10 = 6x102 + 7x101 + 8x100
b = (432)10 = 4x102 + 3x101 + 2x100
由此：
c0 = a0xb0 + a1xb-1 + a2xb-2 = 8x2 + 7x0 + 6x0 = 16 + 0 + 0 = 16
c1 = a0xb1 + a1xb0 + a2xb-1 = 8x3 + 7x2 + 6x0 = 24 + 14 + 0 = 38
c2 = a0xb2 + a1xb1 + a2xb0 = 8x4 + 7x3 +6x2 = 32 + 21 + 12 = 65
c3 = a0xb3 + a1xb2 + a2xb1 = 8x0 + 7x4 + 6x3 = 0 + 28 + 18 = 46
c4 = a0xb4 + a1xb3 + a2xb2 = 8x0 + 7x0 + 6x4 = 0 + 0 + 24 = 24
最后：
c = a x b = 104xc4 + 103xc3 + 102xc2 + 101xc1 + 100xc0
= 10000x24 + 1000x46 + 100x65 + 10x38 + 1x16
= 292896
如果按以上方法计算大整数的乘法，时间复杂度是 O(N2)。
但是，我们注意到，向量 {ck} 是向量 {ai} 和向量 {bj} 的卷积。根据卷积定理，向量卷积的离散傅里叶变换是向量离散傅里叶变换的乘积。于是，我们可以按照以下步骤来计算大整数乘法：
分别求出向量 {ai} 和向量 {bj} 的离散傅里叶变换 {Ai} 和 {Bj}。
将 {Ai} 和 {Bj} 逐项相乘得到向量 {Ck}。
对 {Ck} 求离散傅里叶逆变换，得到的向量 {ck} 就是向量 {ai} 和向量 {bj} 的卷积。
对的向量 {ck} 进行适当的进位就得到了大整数 a 和 b 的乘积 c。
对于复数向量 { xN-1, …, x1, x0 }，离散傅里叶变换公式为：
离散傅里叶逆变换公式为：
注意到离散傅里叶逆变换除了指数的符号相反以及结果需要乘以归一化因子 1/N 外，与离散傅里叶变换是相同的。所以计算离散傅里叶变换的程序稍做修改也可以用于计算逆变换。
在我们的例子中，乘积 c = 292896，共 6 位数字，N 需要扩展到 23 = 8。那么，向量 {ai} 和向量 {bj} 如下所示：
{ a7, a6, a5, a4, a3, a2, a1, a0 } = { 0, 0, 0, 0, 0, 6, 7, 8 }
{ b7, b6, b5, b4, b3, b2, b1, b0 } = { 0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2 }
为了求出以上向量的离散傅里叶变换，我们令
ω = e-2πi/N = e-2πi/8 = e-πi/4 = cos(-π/4) + i sin(-π/4) = √2 / 2 - i √2 / 2 ≈ 0.7-0.7i
为了方便计算，我们预先求出 ω 的各次方，如下：
ω8 = ω0 = e0 = 1
ω9 = ω1 = e-πi/4 = cos(-π/4) + i sin(-π/4) ≈ 0.7-0.7i
ω10 = ω2 = e-πi/2 = cos(-π/2) + i sin(-π/2) = -i
ω11 = ω3 = e-3πi/4 = cos(-3π/4) + i sin(-3π/4) ≈ -0.7-0.7i
ω12 = ω4 = e-πi = cos(-π) + i sin(-π) = -1
ω13 = ω5 = e-5πi/4 = cos(-5π/4) + i sin(-5π/4) ≈ -0.7+0.7i
ω14 = ω6 = e-3πi/2 = cos(-3π/2) + i sin(-3π/2) = i
ω15 = ω7 = e-7πi/4 = cos(-7π/4) + i sin(-7π/4) ≈ 0.7+0.7i
注意到当 n > 2 时，an = 0，于是：
A0 = a0xω0x0 + a1xω1x0 + a2xω2x0 = 8xω0 + 7xω0 + 6xω0 = 8x1 + 7x1 + 6x1 = 21
A1 = a0xω0x1 + a1xω1x1 + a2xω2x1 = 8xω0 + 7xω1 + 6xω2 ≈ 8x1 + 7x(0.7 - 0.7i) + 6x(-i) = 12.9-10.9i
A2 = a0xω0x2 + a1xω1x2 + a2xω2x2 = 8xω0 + 7xω2 + 6xω4 = 8x1 + 7x(-i) + 6x(-1) = 2-7i
A3 = a0xω0x3 + a1xω1x3 + a2xω2x3 = 8xω0 + 7xω3 + 6xω6 ≈ 8x1 + 7x(-0.7 - 0.7i) + 6xi = 3.1+1.1i
A4 = a0xω0x4 + a1xω1x4 + a2xω2x4 = 8xω0 + 7xω4 + 6xω8 = 8x1 + 7x(-1) + 6x1 = 7
A5 = a0xω0x5 + a1xω1x5 + a2xω2x5 = 8xω0 + 7xω5 + 6xω10 ≈ 8x1 + 7x(-0.7 + 0.7i) + 6x(-i) = 3.1-1.1i
A6 = a0xω0x6 + a1xω1x6 + a2xω2x6 = 8xω0 + 7xω6 + 6xω12 = 8x1 + 7xi + 6x(-1) = 2+7i
A7 = a0xω0x7 + a1xω1x7 + a2xω2x7 = 8xω0 + 7xω7 + 6xω14 ≈ 8x1 + 7x(0.7 + 0.7i) + 6xi = 12.9+10.9i
同样，当 n > 2 时，bn = 0，于是：
B0 = b0xω0x0 + b1xω1x0 + b2xω2x0 = 2xω0 + 3xω0 + 4xω0 = 2x1 + 3x1 + 4x1 = 9
B1 = b0xω0x1 + b1xω1x1 + b2xω2x1 = 2xω0 + 3xω1 + 4xω2 ≈ 2x1 + 3x(0.7 - 0.7i) + 4x(-i) = 4.1-6.1i
B2 = b0xω0x2 + b1xω1x2 + b2xω2x2 = 2xω0 + 3xω2 + 4xω4 = 2x1 + 3x(-i) + 4x(-1) = -2-3i
B3 = b0xω0x3 + b1xω1x3 + b2xω2x3 = 2xω0 + 3xω3 + 4xω6 ≈ 2x1 + 3x(-0.7 - 0.7i) + 4xi = -0.1+1.9i
B4 = b0xω0x4 + b1xω1x4 + b2xω2x4 = 2xω0 + 3xω4 + 4xω8 = 2x1 + 3x(-1) + 4x1 = 3
B5 = b0xω0x5 + b1xω1x5 + b2xω2x5 = 2xω0 + 3xω5 + 4xω10 ≈ 2x1 + 3x(-0.7 + 0.7i) + 4x(-i) = -0.1-1.9i
B6 = b0xω0x6 + b1xω1x6 + b2xω2x6 = 2xω0 + 3xω6 + 4xω12 = 2x1 + 3xi + 4x(-1) = -2+3i
B7 = b0xω0x7 + b1xω1x7 + b2xω2x7 = 2xω0 + 3xω7 + 4xω14 ≈ 2x1 + 3x(0.7 + 0.7i) + 4xi = 4.1+6.1i
这样，向量 {ai} 和向量 {bj} 的离散傅里叶变换 {Ai} 和 {Bj} 如下所示：
{ A7, A6, A5, A4, A3, A2, A1, A0 } = { 12.9+10.9i, 2+7i, 3.1-1.1i, 7, 3.1+1.1i, 2-7i, 12.9-10.9i, 21 }
{ B7, B6, B5, B4, B3, B2, B1, B0 } = { 4.1+6.1i, -2+3i, -0.1-1.9i, 3, -0.1+1.9i, -2-3i, 4.1-6.1i, 9 }
现在，将她们逐项相乘得到向量 {Ck}，即 { C7, C6, C5, C4, C3, C2, C1, C0 }
= { -13.6+123.4i, -25-8i, -2.4-5.8i, 21, -2.4+5.8i, -25+8i, -13.6-123.4i, 189 }
为了求出向量 {Ck} 的离散傅里叶逆变换，我们令
ω = e2πi/N = e2πi/8 = eπi/4 = cos(π/4) + i sin(π/4) = √2 / 2 + i √2 / 2 ≈ 0.7+0.7i
为了方便计算，我们预先求出 ω 的各次方(注意 ωk+8 = ωk)，如下：
ω0 = e0 = 1
ω1 = eπi/4 = cos(π/4) + i sin(π/4) ≈ 0.7+0.7i
ω2 = eπi/2 = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
ω3 = e3πi/4 = cos(3π/4) + i sin(3π/4) ≈ -0.7+0.7i
ω4 = eπi = cos(π) + i sin(π) = -1
ω5 = e5πi/4 = cos(5π/4) + i sin(5π/4) ≈ -0.7-0.7i
ω6 = e3πi/2 = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = -i
ω7 = e7πi/4 = cos(7π/4) + i sin(7π/4) ≈ 0.7-0.7i
于是：
c0 = (1/N) x ( C0xω0x0 + C1xω1x0 + C2xω2x0 + C3xω3x0
+ C4xω4x0 + C5xω5x0 + C6xω6x0 + C7xω7x0 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω0 + (-25+8i)xω0 + (-2.4+5.8i)xω0
+ 21xω0 + (-2.4-5.8i)xω0 + (-25-8i)xω0 + (-13.6+123.4i)xω0 )
= 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x1 + (-25+8i)x1 + (-2.4+5.8i)x1
+ 21x1 + (-2.4-5.8i)x1 + (-25-8i)x1 + (-13.6+123.4i)x1 )
= 0.125 x 128 = 16
c1 = (1/N) x ( 8xc1 = C0xω0x1 + C1xω1x1 + C2xω2x1 + C3xω3x1
+ C4xω4x1 + C5xω5x1 + C6xω6x1 + C7xω7x1 )
= (1/8) x ( 189xω0 + ( -13.6-123.4i)xω1 + (-25+8i)xω2 + (-2.4+5.8i)xω3
+ 21xω4 + (-2.4-5.8i)xω5 + (-25-8i)xω6 + (-13.6+123.4i)xω7 )
≈ 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(0.7+0.7i) + (-25+8i)x(i) + (-2.4+5.8i)x(-0.7+0.7i)
+ 21x(-1) + (-2.4-5.8i)x(-0.7-0.7i) + (-25-8i)x(-i) + (-13.6+123.4i)x(0.7-0.7i) )
= 0.125 x 300.96 = 37.62 ≈ 38
c2 = (1/N) x ( C0xω0x2 + C1xω1x2 + C2xω2x2 + C3xω3x2
+ C4xω4x2 + C5xω5x2 + C6xω6x2 + C7xω7x2 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω2 + (-25+8i)xω4 + (-2.4+5.8i)xω6
+ 21xω8 + (-2.4-5.8i)xω10 + (-25-8i)xω12 + (-13.6+123.4i)xω14 )
= 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(i) + (-25+8i)x(-1) + (-2.4+5.8i)x(-i)
+ 21x1 + (-2.4-5.8i)x(i) + (-25-8i)x(-1) + (-13.6+123.4i)x(-i) )
≈ 0.125 x 518.4 = 64.8 ≈ 65
c3 = (1/N) x ( C0xω0x3 + C1xω1x3 + C2xω2x3 + C3xω3x3
+ C4xω4x3 + C5xω5x3 + C6xω6x3 + C7xω7x3 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω3 + (-25+8i)xω6 + (-2.4+5.8i)xω9
+ 21xω12 + (-2.4-5.8i)xω15 + (-25-8i)xω18 + (-13.6+123.4i)xω21 )
≈ 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(-0.7+0.7i) + (-25+8i)x(-i) + (-2.4+5.8i)x(0.7+0.7i)
+ 21x(-1) + (-2.4-5.8i)x(0.7-0.7i) + (-25-8i)x(i) + (-13.6+123.4i)x(-0.7-0.7i) )
= 0.125 x 364.32 = 45.54 ≈ 46
c4 = (1/N) x ( C0xω0x4 + C1xω1x4 + C2xω2x4 + C3xω3x4
+ C4xω4x4 + C5xω5x4 + C6xω6x4 + C7xω7x4 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω4 + (-25+8i)xω8 + (-2.4+5.8i)xω12
+ 21xω16 + (-2.4-5.8i)xω20 + (-25-8i)xω24 + (-13.6+123.4i)xω28 )
= 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(-1) + (-25+8i)x1 + (-2.4+5.8i)x(-1)
+ 21x1 + (-2.4-5.8i)x(-1) + (-25-8i)x1 + (-13.6+123.4i)x(-1) )
= 0.125 x 192 = 24
c5 = (1/N) x ( C0xω0x5 + C1xω1x5 + C2xω2x5 + C3xω3x5
+ C4xω4x5 + C5xω5x5 + C6xω6x5 + C7xω7x5 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω5 + (-25+8i)xω10 + (-2.4+5.8i)xω15
+ 21xω20 + (-2.4-5.8i)xω25 + (-25-8i)xω30 + (-13.6+123.4i)xω35 )
≈ 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(-0.7-0.7i) + (-25+8i)x(i) + (-2.4+5.8i)x(0.7-0.7i)
+ 21x(-1) + (-2.4-5.8i)x(0.7+0.7i) + (-25-8i)x(-i) + (-13.6+123.4i)x(-0.7+0.7i) )
= 0.125 x 3.04 = 0.38 ≈ 0
c6 = (1/N) x ( C0xω0x6 + C1xω1x6 + C2xω2x6 + C3xω3x6
+ C4xω4x6 + C5xω5x6 + C6xω6x6 + C7xω7x6 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω6 + (-25+8i)xω12 + (-2.4+5.8i)xω18
+ 21xω24 + (-2.4-5.8i)xω30 + (-25-8i)xω36 + (-13.6+123.4i)xω42 )
= 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(-i) + (-25+8i)x(-1) + (-2.4+5.8i)x(i)
+ 21x1 + (-2.4-5.8i)x(-i) + (-25-8i)x(-1) + (-13.6+123.4i)x(i) )
= 0.125 x 1.6 = 0.2 ≈ 0
c7 = (1/N) x ( C0xω0x7 + C1xω1x7 + C2xω2x7 + C3xω3x7
+ C4xω4x7 + C5xω5x7 + C6xω6x7 + C7xω7x7 )
= (1/8) x ( 189xω0 + (-13.6-123.4i)xω7 + (-25+8i)xω14 + (-2.4+5.8i)xω21
+ 21xω28 + (-2.4-5.8i)xω35 + (-25-8i)xω42 + (-13.6+123.4i)xω49 )
≈ 0.125 x ( 189x1 + (-13.6-123.4i)x(0.7-0.7i) + (-25+8i)x(-i) + (-2.4+5.8i)x(-0.7-0.7i)
+ 21x(-1) + (-2.4-5.8i)x(-0.7+0.7i) + (-25-8i)x(i) + (-13.6+123.4i)x(0.7+0.7i) )
= 0.125 x 3.68 = 0.46 ≈ 0
这样，我们就使用离散傅里叶变换和逆变换计算出了向量 {ai} 和向量 {bj} 的卷积向量 {ck}，如下所示：
{ c7, c6, c5, c4, c3, c2, c1, c0 } = { 0, 0, 0, 0, 24, 46, 65, 38, 16 }
这和我们在前面直接使用向量 {ai} 和向量 {bj} 来计算卷积的结果是一样的。
但是，这个算法的时间复杂度还是 O(N2)。我们绕了这么一大圈，不是白费劲了吗？
现在就到了关键时刻，关键在于：直接进行离散傅里叶变换的计算复杂度是 O(N2)。快速傅里叶变换可以计算出与直接计算相同的结果，但只需要 O(N logN) 的计算复杂度。 N logN 和 N2 之间的差别是巨大的。例如，当 N = 106 时，在一个每秒运算百万次的计算机上，粗略地说，它们之间就是占用 30 秒 CPU 时间和两星期 CPU 时间的差别。
快速傅里叶变换的要点如下：一个界长为 N 的离散傅里叶变换可以重新写成两个界长各为 N/2 的离散傅里叶变换之和。其中一个变换由原来 N 个点中的偶数点构成，另一个变换由奇数点构成。这个过程可以递归地进行下去，直到我们将全部数据细分为界长为 1 的变换。什么是界长为 1 的傅里叶变换呢？它正是把一个输入值复制成它的一个输出值的恒等运算。要实现以上算法，最容易的情况是原始的 N 为 2 的整幂次项，如果数据集的界长不是 2 的幂次时，则可添上一些零值，直到 2 的下一幂次。在这个算法中，每递归一次需 N 阶运算，共需要 log N 次递归，所以快速傅里叶变换算法的时间复杂度是 O(N logN)。
由于快速傅里叶变换是采用了浮点运算，因此我们需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。长度为 N 的 B 进制数可产生大到 B2N 阶的卷积分量。我们知道，双精度浮点数的尾数是 53 个二进位，所以：
2 x log2B + log2N + 几个 x log2log2N < 53
上式中左边最后一项是为了快速傅里叶变换的舍入误差。
所以，为了能够计算尽量大的整数，一般 B 不会取得太大。在计算机程序中经常使用 256 进制进行运算。但是如果经常需要将计算结果和十进制互相转换，则往往使用 100 进制进行运算。
关于快速傅里叶变换以及卷积定理的更深入的知识，请参阅文末的参考文献。这一篇随笔主要是讲述相关的原理，在下一篇随笔中，我将给出一个使用快速傅里叶变换进行任意精度的算术运算的 C# 程序。
